已知{an}是正数列,a1≠1,点(√an,an+1) n∈N*,在函数y=x^2+1的图像上

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 12:32:14
已知{an}是正数列,a1≠1,点(√an,an+1) n∈N*,在函数y=x^2+1的图像上
（1）求an的通项公式
（2）若数列{an}满足bn+1=bn+2^an，求证bn*bn+2<(bn+1)^2

好难哦

1.因为点(√an,an+1) n∈N*,在函数y=x^2+1的图像上
所以an+1= an+1，则an+1- an=1
即{an}是以公差为1的等差数列
则 an=a1+(n-1)
2.b(n+1)=bn+2^an bn=b(n+1)-2^an
b(n+2)=b(n+1)+2^a(n+1)=b(n+1)+2^(an+1)=b(n+1)+2*2^an
则 bn*b(n+2)/[b(n+1)]^2=[b(n+1)-2^an][b(n+1)+2*2^an]/[b(n+1)]^2
<[b(n+1)-2^an][b(n+1)+2^an]/[b(n+1)]^2
<{[b(n+1)]^2-(2^an)^2}/[b(n+1)]^2<1
所以 bn*b(n+2)<[b(n+1)]^2

解：1.因为点(√an,an+1) n∈N*,在函数y=x^2+1的图像上
所以an+1= an+1，则an+1- an=1
即{an}是以公差为1的等差数列
则 an=a1-1+n
2. 由bn+1=bn+2^an
即bn+1-bn=2^（a1-1+n）设Cn=bn+1-bn=2^（a1-1+n）
则Cn/Cn-1=2，所以{Cn}是以公比为2的等比数列
C1=2^a1，则{Cn}的前n项和为Sn=2^a1（2^n-1）
而Sn= b2-b1+ b3-b2+ b4-b3+………+ bn+1-bn=2^a1（2^n-1）
则 bn+1=2^a1（2^n-1）+b1
所以bn*bn+2-(bn+1)^2=[2^a1（2^n-1）+b1][ 2^a1（2^n+2-1）+b1]-[ 2^a1（2^n+2-1）+b1]²
=2^n2^a1（b1-2^a1）
差b1的大小，无法比较